TL;DR

  • 대형 언어 모델(LLM)은 수학 연구에서 흥미로움을 판단하는 기준을 바꾸지는 않지만, 연구를 실행하는 방식에는 큰 영향을 줌.
  • 수학 연구는 근본적인 이해를 추구하는 동시에, 진실의 제약 안에서 정의와 정리로 아름답고 흥미로운 이야기를 구성하는 창작 활동임.
  • 책을 두루 읽고 표준 보조정리를 아는 기계는 연구 속도를 크게 높이고, 이전에는 상상에 그쳤던 수학적 주제를 탐색할 수 있게 함.
  • 수학이 개인에게 즐겁고 흥미로운 일이라는 점과 여러 사람이 함께 관심을 나누며 공동체를 만든다는 점이 인간이 수학을 계속할 이유임.
  • AI가 답을 이해보다 앞세우거나 수학자 사이의 유대를 약화할 위험이 있지만, 그 가능성이 반드시 현실이 되는 것은 아님.

수학 연구는 흥미로운 이야기를 찾는 일

  • 박사 과정 중반에 학문 분야별 글쓰기 강좌를 만드는 대학원생 및 교수진 세미나에 참여했으며, 진행자가 “자신의 분야에서 잘 쓴다는 것은 무엇을 뜻하는가?”라고 질문함.
  • 당시에도 지금도 글쓰기를 실제로 하는 일의 대리 지표로 사용함. 경력 중반의 대학원생으로서 수학 글쓰기, 나아가 수학 자체를 잘하는 기준은 명확하고 정확한 것이라고 곧바로 답했지만, 다른 분야에 속하고 경험이 더 많았던 세미나 참석자들의 답은 ‘좋은 글은 흥미로운 이야기를 한다’는 것이었음.
  • 이 논의는 연구의 의미를 새롭게 이해하게 함. 연구란 흥미로운 이야깃거리를 찾는 일이며, 그것을 찾은 뒤에는 명확하고 정확하게 표현해야 함.
  • Thurston이 언급하고 이후 많은 사람이 지지했듯, 수학에서 흥미로운 것을 찾는 일은 흔히 이해를 추구하는 과정에서 비롯됨. 하지만 수학 연구의 창작적 측면은 이해를 찾는 일만으로 완전히 설명되지 않음.
  • 흥미로운 이야기를 만드는 일은 인간 경험의 제약을 받으면서도 인간 경험에 대해 논평하는 인물들이 등장하는 소설을 쓰는 것과 비슷함. 수학적 소설에서 정의는 인물이고 보조정리와 정리는 이야기의 문장임. 이들은 참이어야 한다는 제약을 받지만, 진실의 특정 측면을 드러내도록 전략적이거나 예술적으로 선택될 수도 있음.

수학 연구의 접근 방식

  • 현재 수학 연구에서는 근본적인 수준에서 무슨 일이 일어나는지 이해하려고 하지만, 이해에 이르는 유일한 방식이 있다고 생각하지 않음.
  • 이해한 것들은 알고자 하는 현상 가운데 일부에 불과하더라도, 그 일부를 바탕으로 동료 수학자에게 아름답고 흥미로운 이야기를 구성하려고 함.
  • 수학에서 흥미로움은 현실 세계나 다른 수학에 대한 응용에서 비롯되는 경우가 많음. 또한 수학계 대화의 중심이 되는 유명한 미해결 문제와 가까운 주제에서도 비롯됨.

LLM이 바꾸는 연구 실행 방식

  • LLM이 연구 접근법 자체를 크게 바꾸지는 않을 것으로 보지만, 접근법을 실행하는 방식에는 큰 영향을 미칠 것으로 예상함.
  • 이제 표준 보조정리가 어디에 있는지 알고 책을 모두 읽은 기계를 이용할 수 있어 연구 과정이 크게 빨라지고, 수학적 상상 속의 영역 가운데 일부를 실제로 탐색하기 시작할 수 있음. Antieau의 표현처럼 더 큰 꿈을 꿀 수 있음.
  • 고속도로를 이용하면 샛길을 택할 때와 다른 대가가 따르지만, 여정의 각 구간에서 어느 길을 선택할지는 직접 결정할 수 있음.

수학적 흥미의 기준은 유지됨

  • LLM의 등장이 수학적 흥미를 판단하는 기준을 바꾼다고 확신하지 않음. 역사적으로 밀레니엄 문제나 비슷한 문제에 어떤 식으로든 논평하는 논문을 흥미롭다고 여겼다면, 그 문제에 해법이 생겼다고 흥미를 덜 느껴야 하는지 질문함.
  • 해법은 여럿일 수 있고, 완전한 해법을 이루지는 않더라도 이해의 파편은 다양하게 존재하며, 그 모두가 흥미로움.
  • 붉은 도시에 가는 법을 알게 됐더라도 주변 지형을 계속 지도화할 수 있음. 대도시와 가까워 생기는 경제적·전략적 기회 때문에 주변 지형은 오히려 더욱 가치가 있음.

인간이 수학을 계속하는 이유

  • LLM이 인간보다 더 흥미로운 수학을 만들어낼 수 있다고 가정하더라도, 인간이 수학을 해야 할 이유가 무엇인지 질문함. 경제적 이유도 있다고 믿지만, 그 문제는 다루지 않음. Sahai와 Strogatz-Townsend가 각각 관련 생각을 제시함.
  • 여기서는 인간적인 이유 두 가지를 제시함. 이는 수학에만 해당하지 않으며, AI의 등장이 실행 방식을 바꾸는 인간 활동도 수학만이 아님.

개인의 즐거움과 이해

  • 첫 번째 이유는 수학이 개인에게 흥미롭다는 점임. 수학을 즐기므로 기계가 더 잘하더라도 계속 수학을 할 것임.
  • LLM은 해법을 이해하는 것보다 답을 아는 쪽으로 유혹해 수학의 즐거움을 앗아갈 위험이 있음. 그 유혹을 물리치고, 수학 연구를 더 즐겁게 만들며 지혜뿐 아니라 이해도 얻을 수 있는 방식으로만 AI를 사용해야 함. 이는 Proverbs 4:7의 가르침과도 맞닿아 있음.
  • 이를 위해서는 실험이 필요할 수 있음. 경제적으로 ‘옳은’ 선택이라도 개인에게 도움이 되지 않으면 기술을 매번 사용하지 않는다는 점에서, 자신과 다른 사람들은 이미 비슷한 선택을 하고 있음.
  • 예를 들어 차를 타고 갈 수도 있지만, 매주 아이들을 설득해 왕복 7마일을 걸어서 교회에 감. 통근에 두 시간이 훨씬 넘게 들지만, 함께 시간을 보내고 고생하면서 가족 구성원 사이의 이해가 깊어지는 가치가 그만큼의 시간과 노력을 보상함.

공동의 관심과 수학 공동체

  • 두 번째 이유는 여러 사람이 동시에 수학에 관심을 가질 수 있고, 그 관심이 공동체를 만든다는 점임.
  • 다른 분야의 세미나 참석자들이 좋은 글은 흥미롭다고 말한 것도 이런 의미임. 좋은 글은 다른 사람에게 흥미롭고, 더 큰 대화의 일부가 됨.
  • 수학 연구는 학생과 교사의 관계, 공동 연구, 학회, 학과 콜로키엄과 티타임에서 사람들을 이어주는 도구임.
  • AI는 성과를 먼저 발표당할지 모른다는 두려움을 키우거나 동료보다 기계에 질문하기 쉽게 만들어 사회적 유대를 약화할 수도 있음. 하지만 가능성이 있다고 해서 반드시 그렇게 된다는 뜻은 아님.

Wendell Berry의 말을 빌리면, AI 시대가 수학 이웃을 알아가는 시대가 되기를 바람. “친구들이여, 매일 계산되지 않을 일을 하라.”