볼록 껍질의 면 평면을 병합하거나 일부 제거해 단순화한 뒤 다시 구성할 때, 각 면 평면 \(\boldsymbol{n \cdot x = d}\)를 점 \(\boldsymbol{n/d}\)로 바꾸면 극쌍대 다면체의 정점을 얻는다. 이 설명 글은 지지 함수의 등위 집합을 바탕으로 이 대응 관계와 재구성 과정을 설명한다.
다면체 \(\boldsymbol{P}\)의 원점을 내부에 두고 지지 함수 \(\boldsymbol{h(y) = \max_{x \in P}(x \cdot y)}\)를 생각하면, 함수값이 일정한 점들의 집합은 극쌍대 다면체의 크기를 바꾼 형태가 된다. 구체적으로 \(\boldsymbol{\{h \leq c\} = cP^{\circ}}\)이며, \(\boldsymbol{P^{\circ}}\)의 면은 원래 다면체의 정점에, 극쌍대의 정점은 원래 다면체의 면에 대응한다.
원점이 \(\boldsymbol{P}\) 내부에 있다는 조건은 중요하다. 이 조건 아래 극쌍대는 유계 다면체가 된다. 원점이 내부에 있지 않으면 일부 방향에서 지지 함수가 0 이하가 되어 등위 집합이 유계가 아닐 수 있다고 설명한다.
면 평면을 바꾸는 방식으로 껍질을 단순화할 때는 해당 면에 대응하는 극쌍대의 정점을 편집하고 그 점들의 볼록 껍질을 다시 구한다. 새 극쌍대의 각 면 \(\boldsymbol{w \cdot y = 1}\)은 단순화된 다면체의 정점 \(\boldsymbol{w}\)를 나타낸다. 글은 이 관계를 통해 면 평면 기반 재구성의 기하학적 의미를 연결한다.
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